Kwadraty magiczne i półmagiczne są doskonałym ćwiczeniem rachunkowym.

Kwadrat magiczny to tablica liczb składająca się z n wierszy i n kolumn (n>2), w którą wpisano n² różnych liczb naturalnych w ten sposób, że suma liczb w każdym wierszu, w każdej kolumnie i w każdej przekątnej jest taka sama (tzw. suma magiczna). Kwadrat, w którym suma liczb w każdym wierszu i każdej kolumnie jest taka sama, ale sumy liczb w przekątnych są różne, nazywa się półmagicznym.

Z matematycznego punktu widzenia to macierz kwadratowa, w której suma liczb w kolumnach, wierszach i obu przekątnych jest taka sama. Kwadraty magiczne nie mają żadnego zastosowania naukowego, ich układanie jest rodzajem rozrywki matematycznej. Kwadratów magicznych jest nieskończenie wiele. Najpopularniejsze są kwadraty zbudowane z kolejnych wyrazów ciągu arytmetycznego: 1, 2, ... n². Suma magiczna takiego kwadratu wynosi n·(n²+1)/2.

Niektóre własności kwadratów magicznych (n, jak wyżej, oznacza liczbę kolumn i wierszy kwadratu):
- Jeśli do każdej liczby w kwadracie dodamy tę samą wartość k, to kwadrat pozostanie magicznym, a jego suma magiczna wzrośnie o n·k.
- Jeśli każdą liczbę w kwadracie pomnożymy przez tę samą wartość k, to kwadrat pozostanie magicznym, a jego suma wzrośnie k-krotnie.
- Jeśli weżmiemy dwa kwadraty magiczne o tym samym rozmiarze i sumach magicznych S₁ i S₂, i dodamy liczby na odpowiadających sobie
pozycjach, to otrzymany w wyniku tego dodawania nowy kwadrat też będzie magiczny, a jego suma magiczna wyniesie S₁+S₂ (jednak nie ma gwarancji, że w tym nowym kwadracie wszystkie liczby będą różne).

(cytowano za wikipedia.org; przeczytaj więcej)

********************************************

Przykłady kwadratów półmagicznych

Dodawanie w zakresie 20