Natura raczy nas wieloma niesamowitymi formami przestrzennymi, żywymi i nieożywionymi. Co łączy te wszystkie naturalne zjawiska? Wodospady, plątaniny gałęzi, oczy owadów, łuski ryb mieniące się wieloma kolorami, tęcza, żyłki na liściach, kwiaty tworzące wielkie kwiatostany o ciekawych kształtach, fałdki piasku ułożone na dnie morskim w niepowtarzalny wzór, nigdy takie same a jedynie podobne układy chmur na niebie w połączeniu z oświetlającym je o różnych porach dnia Słońcem, prążki na grzbiecie tygrysa, czy rysia. Co? „Zorganizowany bałagan” zwany fraktalami. Jak skorzystać z piękna tego pojęcie dla edukacji zintegrowanej pozostając w jej słodkim ograniczeniu?

Definicja czy zbiór cech?

Czym jest to ciekawe zjawisko? Fractus, jak mawiali starożytni Rzymianie, to określenie czegoś złamanego, cząstkowego, częściowego. Najbliżej mu do polskiej frakcji, czyli części większej całości. Dawniej tym ciekawym imieniem nazywano ułamki. Etymologia tego słowa pozwoliła mi, typowej humanistce zrozumieć choćby ogólnie znaczenie tych nowych pojęć i zbudować pozytywną motywację łączącą świat chaosu, nieregularnego piękna ze światem logicznie układających się liczb. Do tego budowała dalsze zainteresowanie językowe. Ileż radości wypływa z tak wielorakiej integracji tematów! Wracając jednak do fraktali, to, poza tym, że ich definicja nie jest jednorodna w różnych środowiskach naukowych, to najogólniej jest on strukturą, która składa się z coraz mniejszych elementów, które po powiększeniu będą przypominać kształt całości. Z początku pojęcie to jest dość mętne. Jednak gdy dodamy określenie geometryczne „podobne” i nowe słowo samopodobieństwo, to sprawa zacznie się trochę wyjaśniać. Jako, że i tutaj z czasem zadziałała zasada - ilu ludzi, tyle zdań, matematycy zaczęli oni coraz ostrożniej podawać tą definicję. To wszystko dlatego, że przykłady fraktali w naturze także okazały się bardzo różnorodne.

Ostatecznie matematycy uznają, że fraktalem jest to, co spełnia wszystkie lub większość tych cech:

• Ma nietrywialną strukturę; piękne słowo wzbogacające słownictwo, którego na tym etapie nie trzeba wyjaśniać stricte matematycznie – dosłowne rozumienie oddaje także jego istotę.

Zadanie

Stwórz mandale o różnym stopniu złożoności. Pierwsza niech będzie „trywialnie” prosta np. z jedną gwiazdą pośrodku, kolejna z gwiazdą i kilkoma dodatkowymi trójkątami ułożonymi na krańcach ramion gwiazdy, kolejną z następnym kręgiem z powtarzającą się inną figurą i tak aż do czwartej mandali najbardziej złożonej.

• Jego struktury nie da się łatwo opisać  językiem geometrii euklidesowej.

Zadanie

Wybierz jeden z przykładów fraktali na stronie educarium (link do artykułu w postaci QR-kodu na końcu artykułu). Następnie poproś uczniów o ułożenie kawałka tego fraktala za pomocą figur płaskich np. Klocków Dienesa (Klocki logiczne 60 figur 050-1020), Słomek konstrukcyjnych (030-7130), Klocków architekt (050-8025), czy dla uczniów uzdolnionych matematycznie, nawet w trójwymiarze, bez nazywania jeszcze brył – za pomocą Szkieletowych konstrukcji brył (155-1650). Czy powstający układ można łatwo rozłożyć na znane figury płaskie: trójkąty, prostokąty, romby itd.? Ciekawym przykładem może tu być budynek stacji kolejowej King's  Cross w Londynie.

• Ma naturalny, „kłębiasty”, „poszarpany” wygląd.

Zadanie

Na tym etapie warto wykorzystać mikroskop i pozbierać w terenie różnorodne próbki ożywionych i nieożywionych elementów natury. Oglądanie żyłek liści, korzeni różnych gatunków, kryształów np. hodowanych w swojej klasie, próbek z zestawów preparatów, może unaocznić pojawiające się samopodobieństwo elementów fraktala do jego mniejszych elementów. Przykłady można także znaleźć w naszym zestawie zdjęć fraktali w portalu educarium.pl (link na końcu artykułu). Przykładem takim mogą być wydmy piaskowe – ich wielkie, kilkunastometrowe garby są bardzo podobne do mniejszych garbów, a te do malutkich zmarszczek na piasku widocznych z bliska. Wszystkie te kształty powstają przy udziale wiatru, czyli erozji.

• Jest samopodobny.

Zadanie

Wprowadzenie pojęcia figur przystających i podobnych jest naturalnie proste, gdy pobawimy się geoplanem i modnymi ostatnio kolorowymi gumkami. Zadanie polega na stworzeniu figury geometrycznej oraz drugiej, takiej samej. Kolejny etap to rozszerzenie tej figury (powinna być dość mała np. o boku na 2 lub 3 kołeczkach geoplanu) o 1 kołeczek przy każdym boku. Łatwo rozpocząć zadanie od różnych rodzajów trójkąta. Tak właśnie powiększa się i fraktal – jego największy element jest podobny do tego całkiem małego. W naturze jednak nie jest to zazwyczaj podobieństwo idealne.

Zadanie – dla uzdolnionych matematycznie

Można wprowadzić także symetrią osiową i środkową, której tak blisko do kształtów wielu fraktali.

• Pozostałe dwie cechy można podać jako dodatkowo zaciekawiające, których zrozumienie wymaga dalszej edukacji matematycznej w szkole średniej i na studiach. Ich nazwy to: względnie prosta definicja rekurencyjna i wymiar Hausdorffa większy niż jego wymiar topologiczny.

Fraktale to odkrycie, które zyskuje na popularności z dnia na dzień. Każdy zatem może mieć wpływ na poznawanie świata i powiększanie wiedzy o nim. Może i w Państwa grupie znajduje się kolejny Einstein lub Euklides? Warto zatem sprawdzić. Życzę powodzenia!